0.999...が1に等しいことの証明

数学において初学者は、「循環小数0.999...と1は等しくない」という誤った認識を持ちやすい。以下にそれら二数が「等しい」ことを示す。

証明

$0.999\backslash ldots$	$=\; \backslash frac\{9\}\{10\}\; +\; \backslash frac\{9\}\{100\}\; +\; \backslash frac\{9\}\{1000\}\; +\; \backslash cdots$
	$=\; -9\; +\; \backslash frac\{9\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{9\}\{10\}\; +\; \backslash frac\{9\}\{100\}\; +\; \backslash frac\{9\}\{1000\}\; +\; \backslash cdots$
	$=\; -9\; +\; 9\; \backslash times\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{10\}\; \backslash right)^k$
	$=\; -9\; +\; 9\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{1\}\{10\}\}$
	$=\; 1.\backslash ,$

解説

上の証明では、次の無限等比級数が収束することの理解が重要な鍵となる。

$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{10\}\; \backslash right)^k\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; \backslash frac\{1\}\{10\}\}.$

その他の証明

代数の操作

この証明では収束級数は扱っていないものの、理解は更に容易であろう。

$x$	$=\; 0.999\backslash ldots$
$10x\; -\; x$	$=\; 9.999\backslash ldots\; -\; 0.999\backslash ldots$
$9x$	$=\; 9$
$x$	$=\; 1$

実数の性質

実数の性質を用いて証明することも可能である。0.999...と1を異なる二つの実数であると仮定すると、実数の性質により、区間(0.999..., 1)には無数の実数が存在することになる。しかし、実際そのような実数は存在しないので、仮定は偽であることが分かる。故に、0.999...と1は等しい。

分数を用いた説明

ある数字を9で割ると、その数字が循環するような小数を得ることが出来る。

$1/9$	$=\; 0.111\backslash ldots$
$2/9$	$=\; 0.222\backslash ldots$
（中略）
$8/9$	$=\; 0.888\backslash ldots$

ここで

$9/9$	$=\; 1/9\; +\; 8/9$
	$=\; 0.111\backslash ldots\; +\; 0.888\backslash ldots$
	$=\; 0.999\backslash ldots$

である。しかし任意の数をそれ自体で割った商は1である。故に0.999... = 1。

参考項目

• 循環小数
• 等比級数
• 収束級数
• 無限級数
• 極限

外部リンク

• Repeating Nines
• Why does 0.9999... = 1 ?
• Ask A Scientist: Repeating Decimals